Родился 22 сентября 1988 года в деревне Клиновое Курского уезда, Курской губернии в крестьянской семье. В 1918—1922 годах служил в Красной армии. Участвовал в гражданской войне. Работал в колхозе, на шахте в городе Горловка Донецкой области.

В 1943 году вновь призван в Красную армию Медвенским РВК Курской области.

Стрелок 705-го стрелкового полка ефрейтор Шумаков отличился при прорыве обороны противника в селе Кольтичеево (Рыльский район, Курская область) 27 августа 1943 года. Одним из первых форсировав реку Сейм, Шумаков отважно ворвался в траншею противника и уничтожил пулемётный расчёт, обеспечив успешное продвижение подразделения. В бою за село Урусы 1 сентября 1943 года вступил в неравный бой с группой немцев. В этой операции уничтожил 7 солдат противника, 12 солдат и 1 офицера взял в плен. На правом берегу Днепра в бою за село Ясногородка ефрейтор Шумаков, пробираясь к боевым порядкам соседнего подразделения, случайно заметил группу немцев, устанавливающих миномёт. Смело бросив гранату, уничтожил миномётный расчёт, 1 раненого взял в плен.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 октября 1943 года за успешное форсирование реки Днепр севернее Киева, прочное закрепление плацдарма на западном берегу реки Днепр и проявленные при этом отвагу и геройство ефрейтору Шумакову Захару Егоровичу присвоено званиеГероя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда"

В 1946 году демобилизовался из армии. Работал в родном колхозе.

Умер 6 июня 1971 года. Похоронен на кладбище села Клиновое.