Абрам Крючков родился в 1910 году в селе Плотава Баевского района Алтайского края в крестьянской семье.

Продолжительное время жил в Алма-Ате. Окончив начальную школу, работал сапожным мастером в артели имени Шаумяна.

Служил в Красной Армии в 1931—1933 гг., в июне 1941 г. призван на фронт.

16 ноября 1941 г. у разъезда Дубосеково Волоколамского района  Московской области Крючков Абрам Иванович в составе группы истребителей танков участвовал в отражении многочисленных атак противника, в которых было уничтожено 18 вражеских танков. Данный подвиг вошёл в историю, как подвиг 28-ми героев-панфиловцев.

В этом бою Крючков Абрам Иванович пал смертью храбрых. Похоронен в братской могиле у деревни Нелидово Волоколамского района Московской области.

21 июля 1942 г. Указом Президиума Верховного Совета СССР А.И. Крючкову посмертно присвоено звание Героя Советского Союза за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм.

В 1975 году сооружён мемориал в селе Дубосеково. В деревне Нелидово (1,5 км от разъезда Дубосеково), установлен памятник и открыт Музей героев-панфиловцев.

В городе Алма-Ата, родном для панфиловцев, есть парк имени 28-ми гвардейцев-панфиловцев и монумент в их честь.

Упоминание о 28-ми «самых храбрых сынах» Москвы вошло также в песню «Дорогая моя столица», ныне являющуюся гимном Москвы.

В селе Плотава установлен памятник Герою Советского Союза Абраму Ивановичу Крючкову.