Родился 24 октября (6 ноября) 1916 года в селе Алыкпош ныне Карасуского района Кустанайской области Казахстана в крестьянской семье. Украинец. Окончил курсы трактористов. Работал в колхозе.

В Красную Армию призван в январе 1943 года Мурашинским райвоенкоматом Кировской области и в марте того же года направлен на фронт. Член ВКП(б) с 1944 года.

Командир миномётного расчёта 209-го гвардейского стрелкового полка (73-я гвардейская стрелковая дивизия, 7-я гвардейская армия, Степной фронт) гвардии сержант Александр Анищенко особо отличился в боях в районе села Бородаевка Верхнеднепровского района Днепропетровской области Украины.

На подручных средствах Анищенко с вверенным ему миномётным расчётом преодолел реку Днепр и огнём содействовал воинам в захвате Бородаевского плацдарма.

При отражении контратаки 26 сентября 1943 года миномётчики гвардии сержанта Анищенко А. М. уничтожили большое количество немцев.

5 октября 1943 года гвардии сержант Анищенко подбил немецкий танк, а 16 октября 1943 года первым ворвался в опорный пункт врага и гранатами уничтожил два пулемёта.

В ходе боя было взято в плен много немцев, захвачено большое количество вооружения.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1943 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии сержанту Анищенко Александру Михайловичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением орденаЛенина и медали «Золотая Звезда» (№ 1501).

После войны А. М. Анищенко демобилизован. Жил и работал в Кирове. Скончался 30 октября 1976 года.